KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.

Transcript

1 Jèma 1: KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 AugoÔstou 001 SwmatÐdio mˆzac m kineðtai sto kentrikì dunamikì V (r) = λ log (r/a). Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac na brejeð h mèsh tim tou tetrag nou thc taqôthtac. v = p m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial T = r V. Jèma : SwmatÐdio kineðtai eleôjera sto eswterikì sfairik c epifˆneiac aktðnac R ta toiq mata thc opoðac den epitrèpoun thn èxodo tou swmatidðou sto exwterikì thc epifˆneiac. An to swmatðdio qarakthrðzetai apì mhdenik troqiak stroform poièc eðnai oi dunatèc timèc pou mporeð na pˆrei h enèrgeia tou?. Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac tou na upologisjoôn oi mèsec timèc x, y, z kaj c kai h mèsh tim thc apìstashc apì thn arq twn suntetagmènwn r. Jèma 3: Hlektrìnio kineðtai sto sto epðpedo x, y kˆjeta sto opoðo efarmìzetai stajerì magnhtikì pedðo entashc B. Na deiqjeð ìti an to hlektronio èqei guromagnhtikì lìgo akrib c iso me, g =, h Qamiltwnian tou sust matoc mporeð na tejeð sthn morf ìpou ω B = e hb mc, σ z eðnai o pðnakac Ĥ = hω B ( a a + 1 ) + 1 hω B σ z σ z = ( 1 0 ) 0 1 kai oi telestèc a, a ikanopoioôn thn sqèsh metˆjeshc [ a, a ] = 1. Na brejeð to energeiakì fˆsma kai na deiqjeð ìti ektìc thc jemeli douc stˆjmhc ìlec oi upìloipec eðnai diplˆ ekfulismènec. Poiˆ eðnai h tim thc jemeli douc energeiak c stˆjmhc? ShmeÐwsh: To fortio tou hlektronðou eðnai e kai h mˆza tou m. Kal EpituqÐa!

2 KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 NoembrÐou 003 JEMA 1: a) Gia kðnhsh se kentrikì dunamikì V (r) kai gia dedomènh tim thc troqiak c stroform c l na deiqjeð oti to aktinikì mèroc twn idiokatastˆsewn thc enèrgeiac R(r) gia mikrèc timèc tou r, kontˆ sto mhdèn, sumperifèretai wc ìtan to r V (r) teðnei sto mhdèn gia r 0. R(r) r l b) Na ektimhjoôn oi sqetikistikèc diorj seic sto energeiakì fˆsma tou hlektronðou tou atìmou tou Udrogìnou. JEMA : H pr th diegermènh (n=) katˆstash tou tou hlektronðou atìmou tou Udrogìnou me stroform l = 1 kai z -sunist sa aut c Ðsh me mhdèn, m = 0, perigrˆfetai apì thn kumatik sunˆrthsh ψ(r, θ, φ) = N r exp ( r a 0 ) cosθ ìpou a 0 h aktðna Bohr kai N stajerˆ kanonikopoðhshc. a) Na brejoôn oi katastˆseic Ðdiac enèrgeiac, Ðdiac olik c troqiak c stroform c, l = 1, allˆ me timèc thc z - sunist sac m = +1, 1. b) Na brejeð katˆstash Ðdiac enèrgeiac, Ðdiac olik c troqiak c stroform c, l = 1, allˆ me tim thc x-sunist sac Ðsh me mhdèn. JEMA 3: Hlektrìnio brðsketai se stajerì magnhtikì pedðo B prosanatolismèno sthn kateôjunsh z kai oi idiokatastˆseic tou spin me idotimèc thc ± h/ proc aut thn kateôjunsh eðnai +,. An thn qronik stigm t = 0 h katˆstash tou hlektronðou eðnai 3 ψ = na brejoôn oi pijanìthtec, wc sunart seic tou qrìnou, na metrhjoôn timèc + h/ h h/ antðstoiqa gia thn x - sunist sa thc idiostroform c tou. Kal EpituqÐa!

3 Exetˆseic Kbantik c Mhqanik c II (15 IounÐou 004) (Tm ma: A. Laqanˆ) JEMA 1) H kumatik sunˆrthsh swmatidðou mˆzac µ pou kineðtai se kentrikì dunamikì eðnai ψ = N 1 r e r/a (x + z) a. Na brejoôn oi pijanìthtec P lm na metrhjeð tim gia thn olik troqiak stroform Ðsh me l kai gia thn z- sunist sa aut c Ðsh me m. b. PoÐa h mèsh tim L z ; g. PoÐa h pijanìthta to swmˆtio na brejeð mèsa se sfaðra aktðnac R ; (DÐdontai oi sfairikèc armonikèc: Y 0 0 = 1 4π, Y ±1 1 = JEMA ) 3 SÔsthma me spðn s = qarakthrðzetai apì thn Qamiltonian Ĥ = ɛ 0 h (ŝ x + ŝ y) + ɛ 1 h ŝ z + ɛ ìpou ɛ 0,1, dosmènec stajerèc me monˆdec enèrgeiac. 8π e±iϕ sinϑ, Y 0 1 = 3 4π cosϑ) a. Na eurejoôn oi energeiakèc stˆjmec tou sust matoc sunart sei twn ɛ 0,1,. b. An ɛ 0,1, > 0 gia poièc timèc twn paramètrwn h energeiak stˆjmh me m = eðnai ekfulismènh me thn energeiak stˆjmh me m = 1 ; Ti patathreðte ; JEMA 3) Hlektrìnio kineðtai se epðpedo upì thn epðdrash stajeroô magnhtikoô pedðou kˆjetou sto epðpedo thc kðnhs c tou. EÐnai gnwstì ìti eˆn agnohjeð to spðn tou hlektronðou h Qamiltonian tou mporeð na tejeð sthn morf ìpou [ a, a ] = 1 kai ω B = eb mc. Ĥ = hω B (a a + 1 ) Na grafeð h olik Qamiltonian an lhfjeð up' ìyin h allhlepðdrash thc magnhtik c rop c tou hlektronðou, µ = g s e mc s, me to magnhtikì pedðo ( g s =, fortðo hlektronðou = e). Na brejoôn oi energeiakèc stˆjmec kai na deiqjeð ìti anˆ dôo eðnai ekfulismènec me exaðresh thn jemeli dh energeiak stˆjmh. (To energeiakì fˆsma grammikoô armonikoô talantwt jewreðtai gnwstì). h ŝz Kal EpituqÐa!

4

5 KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 1 FebrouarÐou 005 JEMA 1: H kumatik sunˆrthsh swmatidðou mˆzac µ pou kineðtai se kentrikì dunamikì eðnai ψ = N sinϑ cosφ g(r) ìpou 0 r g(r) dr = 1 a. Na prosdiorisjeð h stajerˆ N ètsi ste h kumatik sunˆrthsh na eðnai kanonikopoðhmènh sthn monˆda. b. Na brejoôn oi pijanìthtec P lm na metrhjeð tim gia thn olik troqiak stroform Ðsh me l kai gia thn z- sunist sa aut c Ðsh me m. PoÐa h mèsh tim L z ; (DÐdontai oi sfairikèc armonikèc: Y 0 0 = 1 4π, Y ±1 1 = 3 8π e±iϕ sinϑ, Y 0 1 = 3 4π cosϑ) JEMA : m kouc. Hlektrìnio kineðtai sto eswterikì swl na amelhtèac diatom c kai apeðrou An efarmosjeð magnhtikì pedðo tou opoðou h sunist sa katˆ ton ˆxona tou swl na metabˆlletai wc a (x x 0 ), ìpou x 0 h jèsh kˆpoiou shmeðou tou swl na kai a > 0, poiˆ eðnai h probol tou spin katˆ thn dieôjunsh tou ˆxona tou swl na gia tic dèsmiec enèrgeiec kai poiì to energeiakì tou fˆsma? JEMA 3: Hlektrìnio brðsketai se stajerì magnhtikì pedðo B prosanatolismèno sthn kateôjunsh z kai oi idiokatastˆseic tou spin me idotimèc thc ± h/ proc aut thn kateôjunsh eðnai +,. eðnai An thn qronik stigm t = 0 h katˆstash tou hlektronðou ψ = na brejoôn oi pijanìthtec gia kˆje qronik stigm na metrhjoôn timèc + h/ h h/ antðstoiqa gia tic x, y - sunist sec thc idiostroform c tou. Kal EpituqÐa!

6 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) 13 Μαρτίου 006 ΘΕΜΑ 1: Σωµατίδιο µάζας m κινείται σε κεντρικό δυναµικό V (r). Να αποδείξετε λεπτοµερώς ότι για τις δέσµιες καταστάσεις της ενέργειας η αβεβαιότητα στο µέτρο της ορµής, αν αυτή ορισθεί ως p ( p x ) + ( p y ) + ( p z ) µε p x,y,z τις επι µέρους αβεβαιότητες για κάθε µία συνιστώσα, ικανοποιεί την σχέση p = m r dv. dr (3 µονάδες) ΘΕΜΑ : Σωµατίδιο µε σπιν S = 1 ϐρίσκεται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο B προσανατολισµένο στην κατεύθυνση z και η Χαµιτωνιανή του δίνεται ότι είναι Ĥ = g B S όπου g δοσµένη σταθερά. Την στιγµή t = 0 το σωµατίδιο ϐρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της y -συνιστώσας του σπιν µε τιµή h. Ποιά είναι η κατάσταση που περιγράφει το σω- µατίδιο την τυχαία χρονική στιγµή t > 0; Ποια η πιθανότητα να µετρήσω τιµή για την y -συνιστώσα ίση µε h και h (3 µονάδες) αντίστοιχα; Ποιά η διασπορά στην y -συνιστώσα του σπιν; ΘΕΜΑ 3: Σωµατίδιο µάζας κινείται σε κεντρικό δυναµικό το οποίο µηδενίζεται όταν r + και έχει επίσης την ιδιότητα r V (r) 0 όταν το r τείνει στο µηδέν. Το ακτινικό µέρος της κατάστασης ψ που περιγράφει την κίνηση του, µε καθορισµένη τροχιακή στροφορµή l και ενέργεια E, έχει την µορφή όπου r 0 δοσµένη σταθερά. R(r) = r exp ( r r 0 ) α. Με ϐάση αυτά τα δεδοµένα να ϐρεθούν η ενέργεια του σωµατιδίου E, η τιµή της τροχιακής στροφορµής l και η µορφή του δυναµικού V (r). ϐ. Αν το σωµατίδιο έχει σπιν 1 και υποτεθεί ότι υπάρχει πρόσθετη αλληλεπίδραση σπιντροχιάς Ĥ so g 1 dv L r dr S, µε g δεδοµένο, να ϐρεθεί η διόρθωση E στην ενέργεια του που δίνεται ως η µέση τιµή της Ĥso στην κατάσταση ψ, δηλαδή E = ψ Ĥso ψ, για όλες τις δυνατές τιµές της ολικής στροφορµής. Καλή Επιτυχία!

7 Exetˆseic Kbantik c Mhqanik c II (19 IoulÐou 006) (Tm ma: A. Laqanˆ) JEMA 1) Hlektrìnio kineðtai se qronikˆ metaballìmeno magnhtikì pedðo B = B0 ẑ cos(ω t). H katˆstash tou thn qronik stigm t = 0 perigrˆfetai apì to ˆnusma ( ) 1/ Ψ = 1/. Na brejeð h katˆstash tou th qronik stigm t > 0 kai apì aut na brejoôn oi mèsec timèc twn sunistws n x, y, z tou spin. Upˆrqei perðptwsh kˆpoia qronik stigm h mèsh tim thc x-sunist sac nˆ pˆrei thn megðsth dunat tim thc me tic mèsec timèc twn ˆllwn sunistws n na eðnai mhdèn? Poiˆ qronik stigm pragmatopoieðtai autì kai me poièc proupojèseic?. JEMA ) a) An h kumatik katˆstash swmatidðou kinoumènou se kentrikì dunamikì eðnai ψ( r) = N e λr/ ( Y 1 1 (θ, φ) + Y 0 (θ, φ) ) r na upologisjeð o parˆgontac kanonikopoðhshc N kai akoloôjwc na upologisjoôn oi mèsec timèc kai oi diasporèc gia ta megèjh L kai L z thc troqiak c stroform c. b) Me bˆsh to gegonìc ìti o telest c thc aktinik c orm c ˆp r = i h( r + 1 r ) eðnai Ermitianìc na deiqjeð ìti to aktinikì mèroc R(r) thc kumatik c sunˆrthshc pou perigrˆfei kðnhsh swmatidðou se kentrikì dunamikì èqei thn idiìthta rr(r) 0 ìtan r 0. JEMA 3) DÔo kbantikˆ sust mata 1 kai me idiostroformèc ( spin ) pou qarakthrðzontai apì touc Ðdiouc kbantikoôc arijmoôc s 1 = s = 1/ èqoun allhlepðdrash spin-spin en sugqrìnwc brðskontai mèsa se stajerì magnhtikì pedðo mètrou B. H Qamiltwnian tou sust matoc eðnai epomènwc Ĥ = λ s 1 s + gb ( s 1 + s ). Poiec eðnai oi enèrgeiakèc stˆjmec kai o ekfulismìc aut n ìtan g = 0? An to B eðnai arkoôntwc mikrì ste o teleutaðoc ìroc na jewrhjeð mikr diataraq na upologisjoôn oi diorj seic sto energeiakì fˆsma. Kal EpituqÐa!

8 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) 14 Σεπτεµβρίου 006 ΘΕΜΑ 1: Σωµατίδιο µάζας m κινείται σε κεντρικό δυναµικό V (r). Να αποδείξετε ότι για τις δέσµιες ενέργειες καθορισµένης τροχιακής στροφορµής l ισχύουν τα ακόλουθα. α) Για µικρές τιµές r του η R(r) συµπεριφέρεται ως R(r) r l όταν το σωµατίδιο κινείται σε δυναµικό µε την ιδιότητα r V (r) 0 για r 0. ϐ) Η Ερµιτιανότητα της ακτινικής ορµής ˆp r οδηγεί σε µηδενισµό της ακτινικής πυκνότητας πιθανότητας στο σηµείο r = 0. (3 µονάδες) ΘΕΜΑ : κατεύθυνση z Ηλεκτρόνιο ϐρίσκεται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο B προσανατολισµένο στην και οι ιδιοκαταστάσεις του σπιν µε ιδοτιµές ± h/ προς αυτή την κατεύ- ϑυνση είναι +,. Αν την χρονική στιγµή t = 0 η κατάσταση του ηλεκτρονίου είναι ψ = eia. α) Να ϐρεθεί η κατάσταση του την χρονική στιγµή t > 0. ϐ) Να ϐρεθούν οι πιθανότητες, ως συναρτήσεις του χρόνου, να µετρηθούν τιµές + h/ η h/ αντίστοιχα για την x - συνιστώσα της ιδιοστροφορµής του. (3 µονάδες) ΘΕΜΑ 3: ύο ταυτοτικά σωµατίδια αναγκάζονται να κινούνται στο εσωτερικό σωλήνα αµελητέας διατοµής και αλληλεπιδρούν µε δυναµικό V (x) = f(x 1, x ) s 1 s όπου s 1, τα σπιν των σωµατιδίων και x 1, οι ϑέσεις των µέσα στον σωλήνα. Αν η συνάρτηση f(x 1, x ) έχει την µορφή f(x 1, x ) = { 0, x1 x L/ +, x 1 x > L/ να ϐρεθεί η ϑεµελιώδης ενέργεια δέσµευσης και ο εκφυλισµός αυτής για τις ακόλουθες περιπτώσεις α) Τα σωµατίδια έχουν σπίν µε κβαντικούς αριθµούς s 1 = s = 1/ ( ϕερµιόνια ). ϐ) Τα σωµατίδια έχουν σπίν µε κβαντικούς αριθµούς s 1 = s = 1 ( µποζώνια ). (4 µονάδες) Καλή Επιτυχία!

9 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) 5 Οκτωβρίου 006 ΘΕΜΑ 1: α) Οι ενεργειακές στάθµες του ατόµου του Υδρογόνου ϕράσσονται προς τα κάτω από το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού. Να δειχθεί ότι η σχέση αυτή επιβάλλει όπως η τιµή της τροχιακής στροφορµής l δεν υπερβαίνει το n 1 όπου n ο κύριος κβαντικός αριθµός. ϐ) ϑεωρώντας γνωστό το ενεργειακό ϕάσµα του ατόµου του Υδρογόνου να ϐρεθεί το αντίστοιχο της δέσµιας κατάστασης του ηλεκτρονίου - ποζιτρονίου. (3 µονάδες) ΘΕΜΑ : Σωµατίδιο µε σπιν S = 1 ϐρίσκεται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο B προσανατολισµένο στην κατεύθυνση y και η Χαµιτωνιανή του δίνεται ότι είναι Ĥ = g B S όπου g δοσµένη σταθερά. Την στιγµή t = 0 το σωµατίδιο ϐρίσκεται στην κατάσταση Ψ = N ( + + i ) όπου +, ιδιοκαταστάσεις της z- συνιστώσας του σπιν µε ιδιοτιµές + h/, h/ αντίστοιχα. Ποιά είναι η πιθανότητα να µετρήσω τιµή + h/ για την z- συνιστώσα την χρονική στιγµή t > 0 ;. (3 µονάδες) ΘΕΜΑ 3: Οι κυρίαρχες σχετικιστικές διορθώσεις του ατόµου του Υδρογόνου περιγρά- ϕονται από πρόσθετο όρο στην Χαµιλτωνιανή του συστήµατος που δίνεται από την έκ- ϕραση Ĥ 1 = 1 ( ) p. µc µ µ είναι η ανηγµένη µάζα και p η ορµή αυτής στο κέντρο µάζας του συστήµατος ηλεκτρονίουπρωτονίου. Να ϐρεθεί η διόρθώση στην ϑεµελειώδη ενέργεια του ατόµου του Υδρογόνου. Βοήθηµα : Για την ϑεµελειώδη στάθµη δίνεται ότι 1 r = 1 a 0 και 1 r = όπου a a 0 είναι 0 η ακτίνα του Bohr, a 0 = h /µe. (4 µονάδες) Καλή Επιτυχία!

10 Exetˆseic Kbantik c Mhqanik c II (19 SeptembrÐou 007) (Tm ma: A. Laqanˆ) JEMA 1) DÔo swmatðdia me Ðdiec idiostroformèc ( spin ) s 1 = s = 1 ufðstantai allhlepðdrash spin-spin en sugqrìnwc brðskontai mèsa se stajerì magnhtikì pedðo mètrou B. H Qamiltwnian tou sust matoc dðnetai apì thn èkfrash Ĥ = λ s 1 s + gb ( s 1 + s ). Poiec eðnai oi energeiakèc stˆjmec kai o ekfulismìc aut n ìtan g = 0? An h stajerˆ g eðnai arkoôntwc mikr ste o teleutaðoc ìroc na jewrhjeð mikr diataraq na upologisjeð to diorjwmèno energeiakì fˆsma se pr th tˆxh sthn stajerˆ g. JEMA ) SwmatÐdio kineðtai sto eswterikì sfairik c koilìthtac aktðnac R me apolôtwc anakl nta toiq mata. Na brejeð to energeiakì tou fˆsma kai oi antðstoiqec kumatikèc sunart seic ìtan h troqiak tou stroform eðnai mhdèn. Gia kˆje enèrgeia na upologisjoôn oi mèsec timèc < x >, < y >, < z > twn sunistws n thc jèshc kai h mèsh tim < r > thc apìstashc apì to kèntro thc sfairik c koilìthtac. Poiˆ eðnai h piì pijan apìstash apì to kèntro sthn katˆstash me thn mikrìterh enèrgeia? JEMA 3) SwmatÐdio me fortðo q kai mˆza M kineðtai se epðpedo upì thn epðdrash stajeroô magnhtikoô pedðou B kˆjetou sto epðpedo kðnhshc tou. To swmatðdio èqei idiostroform s = 1/ kai magnhtik rop µ = g q Mc s. Na brejeð to energeiakì tou fˆsma kai na deiqjeð ìti ìtan g = autì eðnai diplˆ ekfulismèno me exaðresh thn qamhl terh energeiak stˆjmh. Kal EpituqÐa!

11 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Οκτωβρίου 007 ΘΕΜΑ 1: Α) Σωµατίδιο µάζας m κινείται σε κεντρικό δυναµικό V (r). Αν η κυµατική του συνάρτηση είναι ψ( r) = f(r) ( Y 1 1 (θ, φ) + Y 1 1 (θ, φ) + Y 0 (θ, φ) ) ποιά είναι η πιθανότητα να µετρήσω τιµή h για την z-συνιστώσα L z της τροχιακής στρο- ϕορµής ; Ποιά η µέση τιµή της L z και η διασπορά αυτής; Ποία η µέση τιµή για το L ; Β) Να αποδείξετε ότι για τις δέσµιες ενέργειες καθορισµένης τροχιακής στροφορµής l ισχύουν τα ακόλουθα. ϐ1) Για µικρές τιµές του r η R(r) συµπεριφέρεται ως R(r) r l όταν το σωµατίδιο κινείται σε δυναµικό µε την ιδιότητα r V (r) 0 για r 0. ϐ) Η Ερµιτιανότητα της ακτινικής ορµής ˆp r = i h ( + 1 ) οδηγεί σε µηδενισµό της r r ακτινικής πυκνότητας πιθανότητας στο σηµείο r = 0. (3 µονάδες) ΘΕΜΑ : Σωµατίδιο ϐρίσκεται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο B προσανατολισµένο στην κατεύθυνση z και οι ιδιοκαταστάσεις του σπιν µε ιδοτιµές ± h/ προς αυτή την κατεύθυνση είναι +,. Αν την χρονική στιγµή t = 0 η κατάσταση του ηλεκτρονίου είναι ψ = 1 + e ia N +. 3 όπου N ϑετικός πραγµατικός αριθµός α) Να ϐρεθεί η κατάσταση του την χρονική στιγµή t > 0. ϐ) Να ϐρεθούν οι πιθανότητες, ως συναρτήσεις του χρόνου, να µετρηθούν τιµές + h/ η h/ αντίστοιχα για την x και y - συνιστώσα της ιδιοστροφορµής του. (3 µονάδες) ΘΕΜΑ 3: ύο σωµατίδια µε µάζες m 1, m και ιδιοστροφορµές s 1 = 1, s = αλληλεπιδρούν µε δυναµικό V (r) = g s 1 s r όπου g > 0 δεδοµένη σταθερά και r η σχετική τους απόσταση. Αν η τροχιακή στροφορµή του συστήµατος είναι µηδενική (l = 0) να ϐρεθούν οι ενεργειακές στάθµες του συστήµατος και ο εκφυλισµός αυτών. ( Υπενθύµιση: Η ακτινική πυκνότητα πιθανότητας µηδενίζεται για r = 0. ) (4 µονάδες) Καλή Επιτυχία!

12 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 6 Μαρτίου 008 ΘΕΜΑ 1: Να γραφεί η Χαµιλτωνιανή µονοδιάστατου σχετικιστικού γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή στην προσέγγιση που οι σχετικιστικές διορθώσεις πρώτης τάξης είναι µη µηδενικές. Ποιές είναι οι διορθώσεις που επιφέρουν αυτές στην ϑεµελειώδη ενέργεια αν αυτές ϑεωρηθούν µικρές; Υπόδειξη: Για τις κανονικοποιηµένες στην µονάδα ιδιοκαταστάσεις n µε ενέργεια E n = hω(n + 1) ισχύει â+ n = (n + 1) n + 1, â n = n n 1 όπου â +, â είναι οι τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής. Ο τελεστής της ϑέσης δίνεται από την σχέση ˆx = h ( mω â+ + â ). ΘΕΜΑ : Η κυµατική συνάρτηση σωµατιδίου την χρονική στιγµή t = 0 είναι της µορφής ψ(x, y, z) = f(r) (x + y + 4 z ) Ποιές οι πιθανότητες P(l, m) να µετρήσω τροχιακή στροφορµή µε µέτρο h l(l + 1) και συνιστώσα αυτής στον άξονα z ίση µε hm, για όλες τις δυνατές τιµές των l, m, την χρονική αυτή στιγµή; Υπόδειξη: ίνεται ότι ΘΕΜΑ 3: Y,0 (θ, φ) = 5 4π ( 3 (cos θ) 1 ) Η Χαµιλτωνιανή δύο διακρισίµων σωµατιδίων µε σπιν s 1 = s = 1/ είναι Ĥ = ɛ h s 1 s + λ h (s 1z + s z ) όπου ɛ, λ είναι δεδοµένες σταθερές µε διαστάσεις ενέργειας. Την χρονική στιγµή t = 0 το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση +, µε το πρώτο σωµατίδιο να έχει συνιστώσα + h/ στον άξονα z και το δεύτερο h/. Ποιά είναι η πιθανότητα την χρονική στιγµή t > 0 να µετρηθούν τιµές h/, + h/ για τις z-συνιστώσες του σπιν του πρώτου και το δεύτερου σωµατιδίου αντίστοιχα; Μπορεί κάποια χρονική στιγµή αυτή να είναι ένα; Υπόδειξη: Οι καταστάσεις συνολικού σπιν S = 1, M = 0 και S = 0, M = 0 είναι 1, 0 = 1 ( +, +, + ), 0, 0 = 1 ( +,, + ) Καλή Επιτυχία!

13 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) 7 Ιουλίου 008 ΘΕΜΑ 1: Η µαγνητική ϱοπή του e είναι µ = e m ec ( L + g S) µε g =. Να ϐρεθούν οι δυνατές τιµές του µέτρου της µαγνητικής ϱοπής στην στάθµη του ατόµου του υδρογόνου µε κύριο κβαντικό αριθµό n = 3. ΘΕΜΑ : Για την n-οστή στάθµη του ατόµου του υδρογόνου τροχιακής στροφορµής l 1 δίνεται ότι r = 1 1 a B n 3 (l+1/) όπου a B = m ee η ακτίνα του Bohr. Με ϐάση αυτό να ϐρεθεί ο λόγος των σχετικιστικών διορθώσεων πρώτης τάξης της ενέργειας : δen (a B = m ecα, όπου α η σταθερά λεπτής υφής.) ΘΕΜΑ 3: Σωµατίδιο µε σπίν s = 1/ και µαγνητική ϱοπή µ = g S (g δεδοµένη σταθε- ϱά), ϐρίσκεται εγκλωβισµένο σε µικρή περιοχή του χώρου οπότε η κίνησή του µπορεί να αγνοηθεί. Εάν εφαρµοσθεί µαγνητικό ( πεδίο B ) = B 0 sin(ωt) ˆx στην κατεύθυνση ˆx και η 1/ αρχική του κατάσταση είναι ψ(0) = 1/, να ευρεθεί η ψ(t) για t > 0. ( ) Υπόδειξη : Ο πίνακας 1 1 ( 1 είναι µοναδιαίος UU 1 1 = U U = I ) και διαγωνιοποιεί τον πίνακα σ x =, δηλαδή Uσ ( ) ( ) x U =. 0 1 E n. Καλή Επιτυχία!

14 Exetˆseic Kbantik c Mhqanik c II 11 SeptembrÐou Tm ma: A. Laqanˆ JEMA 1) A) SwmatÐdio mˆzac m kineðtai se kentrikì dunamikì V (r) = λ ln(r/r 0 ) me tic stajerèc λ > 0, r 0 dedomènec. Na deiqjeð ìti gia mhdenik troqiak stroform h kumatosunˆrthsh kajorismènhc enèrgeiac ψ( x) = R(r) ikanopoieð thn sqèsh r dr 0 dr dr = λm h ( Upìdeixh. MporeÐte na qrhsimopoi ste to je rhma virial ) B) Gia to ˆtomo tou Udrogìnou na brejeð h diaforˆ E n = E n U 0 thc energeiak c stˆjmhc E n apì to elˆqisto U 0 tou energoô dunamikoô. Poiˆ eðnai h elaqðsth tim thc diaforˆc aut c gia dedomènh enèrgeia E n? JEMA ) H Qamiltwnian kbantikoô sust matoc eðnai ( ) 1 1 Ĥ = E 1 1 me E dedomènh stajerˆ me monˆdec enèrgeiac. An prostejeð diataraktikìc ìroc Ĥ 1 ( ) 1 1 = ɛ 1, me to ɛ dedomèno kai mikrì, na brejoôn oi diorj seic sthn enèrgeia se pr th tˆxh wc proc ɛ. AkoloÔjwc na brejeð to akribèc apotèlesma gia tic enèrgeiec thc olik c Qamiltwnian c Ĥ + kai na deiqjeð ìti se pr th tˆxh sthn mikr enèrgeia ɛ eðnai Ðdiec me autèc pou brèjhkan diataraktikˆ. JEMA 3) Hlektrikˆ fortismèno swmatðdio fortðou q > 0 kineðtai se epðpedo upì thn epðdrash stajeroô magnhtikoô pedðou kˆjetou sto epðpedo thc kðnhs c tou. EÐnai gnwstì ìti eˆn agnohjeð to spðn tou h Qamiltonian tou eðnai aut enìc grammikoô armonikoô talantwt me suqnìthta ω B = qb An to swmatðdio èqei spin = 1 kai h magnhtik tou rop tou eðnai µ = g q mc s Ĥ1 mc. na deiqjeð ìti oi energeiakèc stˆjmec thc olik c Qamiltwnian c, me exaðresh thn jemelei dh, parousiˆzoun diplì ekfulismì ìtan g =. (To energeiakì fˆsma grammikoô armonikoô talantwt jewreðtai gnwstì). Kal EpituqÐa!

15 Εξετάσεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ, ( 11 Σεπτεµβρίου 009 ) (Τµήµα : Α. Λαχανά) ΘΕΜΑ 1) Για κίνηση σε κεντρικό δυναµικό οι καταστάσεις συγκεκριµένης ενέργειας και τροχιακής στρο- ϕορµής µπορούν να γραφούν µε την µορφή Ψ(r, θ, φ) = χ(r) r Y lm (θ, φ) όπου Y lm (θ, φ) είναι σφαιρική αρµονική. Απαντήστε στα πιο κάτω ερωτήµατα ι) Ποιά διαφορική εξίσωση ικανοποιεί η χ(r) και ποιά η ϕυσική της σηµασία ( της χ(r) ). Για µηδενική τροχιακή στροφορµή και για κίνηση σε δυναµικό που µηδενίζεται όταν r δίνεται ότι χ(r) = r e λ r Να ϐρεθεί η ενέργεια και το δυναµικό συναρτήσει της σταθεράς λ. ιι) Ο τελεστής της ακτινικής ορµής είναι Ερµιτιανός και η µορφή του είναι ( ˆp r = i r + 1 ) r Τι συνεπάγεται αυτό για την τιµή της χ(r) στην ϑέση r = 0 ; ιιι) Αν το δυναµικό µέσα στο οποίο κινείται το σωµατίδιο έχει την ιδιότητα r V (r) 0 όταν r 0 να ϐρεθεί η χ(r) σε περιοχή κοντά στην αρχή του ελκτικού κέντρου, r = 0. ΘΕΜΑ ) Σωµατίδιο µε σπιν s = 1/ και µαγνητική ϱοπή µ = g s ϐρίσκεται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο κατά την κατεύθυνση του άξονα x, B = ˆx B0. κατάσταση µε σπιν s z = / στην κατεύθυνση z. Την στιγµή t = 0 το σωµατίδιο ϐρίσκεται σε Να ϐρεθεί η κατάστασή του κάθε χρονική στιγµή t > 0 και να ϐρεθεί ο ελάχιστος χρόνος για τον οποίον το σπιν του σωµατιδίου είναι εξ ολοκλήρου προσανατολισµένο προς τα κάτω, s z = /. ΘΕΜΑ 3) ύο σωµατίδια µε σπιν J 1 = 1/ και J = 1, αντίστοιχα, αλληλεπιδρούν µε Χαµιλτωνιανή Ĥ = ɛ 0 J1 J µε την σταθερά ɛ 0 να είναι ϑετική. Τα δύο σωµατίδια έχουν µαγνητικές ϱοπές µ 1 = g J 1 και µ = g J, µε τον γυροµαγνητικό λόγο g να είναι ίδιος και για τα δύο σωµατίδια. σύστηµα τοποθετείται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο. Μεταβάλλοντας την εντασή του παρατηρούµε ότι υπάρχει τιµή του µέτρου της έντασής του, B 0, για την οποίαν η χαµηλώτερη ενέργεια µε την υψηλότερη τιµή της ολικής στροφορµής J oλικo Το είναι ίδια µε την µεγαλύτερη ενέργεια των καταστάσεων που έχουν την µικρότερη τιµή της ολικής στροφορµής. Από αυτό να προσδιορισθεί ο γυροµαγνητικός λόγος g συναρτήσει των ɛ 0 και B 0. Καλή Επιτυχία!

16 Εξετάσεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ, ( 19 Ιουνίου 009 ) (Τµήµα : Α. Λαχανά) ΘΕΜΑ 1) Σωµατίδιο µε σπιν s = 1 και µαγνητική ϱοπή µ = g s ϐρίσκεται σε σταθερό µαγνητικό πεδίο κατά την κατεύθυνση του άξονα x, B = ˆx B 0. Την στιγµή t = 0 το σωµατίδιο ϐρίσκεται σε κατάσταση µε σπιν στην κατεύθυνση z. Ποιές οι πιθανότητες να ϐρεθεί το σωµατίδιο στην κατάσταση µε σπιν και σπιν 0 αντίστοιχα, στην κατεύθυνση z, την στιγµή t > 0 ; ( Υπόδειξη: Οι κατάστασεις µε σπίν +, 0, στην κατεύθυνση x, φ +, φ 0, φ αντίστοιχα, συνδέονται µε τις καταστάσεις σπιν s, m s, m s = +1, 0, 1, στην κατεύθυνση z µε τις σχέσεις 1, +1 = 1 ( φ+ + φ + φ 0 ) 1, 0 = 1 ( φ + φ ) 1, 1 = 1 ( φ+ + φ φ 0 ) ΘΕΜΑ ) Σωµατίδιο µε µάζα m και µαγνητική ϱοπή µ = g s, όπου g σταθερά, κινείται στο εσωτερικό σφαίρας ακτίνας R µε απολύτως ανακλώντα τοιχώµατα. Στο εσωτερικό της σφαίρας υπάρχει σταθερό µαγνητικό πεδίο B. Ποιό είναι το ενεργειακό ϕάσµα του σωµατιδίου όταν αυτό έχει µηδενική τροχιακή στροφορµή και χαρακτηρίζεται από σπίν s = ; ΘΕΜΑ 3) ύο διακρίσιµα σωµατίδια µε ίδιες µάζες, ίσες µε αυτήν του ηλεκτρονίου, και σπιν s 1 = s = 1/ αλληλεπιδρούν µε δυναµικό V (r) = g s 1 s r όπου r είναι η σχετική τους απόσταση. ι) Για ποιές τιµές του συνολικού σπιν των δύο σωµατιδίων δηµιουργούνται δέσµιες καταστάσεις, ποιές οι δέσµιες ενέργειες και ποιός ο εκφυλισµός αυτών για ϑετική, g > 0, και για αρνητική, g < 0, σταθερά Ϲεύξης ; ιι) Στην χαµηλότερη ενέργεια δέσµευσης τους τα δύο σωµατίδια έχουν τροχιακή στροφορµή µηδέν, στο σύστηµα κέντρου µάζας των, και το ακτινικό µέρος της κυµατικής τους συνάρτησης είναι R(r) = N e λ r Να προσδιορισθεί η σταθερά λ και να ϐρεθεί η πιθανότερη απόσταση µεταξύ των δυο σωµατιδίων στις δύο περιπτώσεις g > 0 και g < 0. Καλή Επιτυχία!

17 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 9 Μαρτίου 010 ΘΕΜΑ 1: Σφαιρικό εισερχόµενο κύµα A e ikr r πλάτους A, στροφορµής µηδέν, και ενέργειας E = h k /m, σκεδάζεται από το δυνα- µικό V(r) = λδ(r r 0 ). Αν B είναι το πλάτος του εξερχοµένου µετά την σκέδαση σφαιρικού κύµατος, στην περιοχή r > r 0, να ϐρεθεί ο λόγος R B/A. Ποιό είναι το µέτρο του R ; Τι συµπεραίνεται από το αποτέλεσµα σας ; ΘΕΜΑ : Σωµατίδιο µε µάζα µ και ηλεκτρικό ϕορτίο q > 0 αναγκάζεται να κινείται στο επίπεδο x,y ενώ κάθετα σε αυτό εφαρµοζεται σταθερό µαγνητικό πεδίο B = (0, 0, B). Να ϐρεθεί η κυµατική συνάρτηση µε την µικρότερη ενέργεια και µε στροφορµή µηδέν κατά την κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου, στην ϐαθµίδα όπου το ανυσµατικό δυναµικό είναι A = ( yb/, +xb/, 0). Από αυτή να ϐρεθεί η πιο πιθανή απόσταση του σωµατιδίου από την αρχή του συστήµατος x = 0, y = 0. ΘΕΜΑ 3: Η Χαµιλτωνιανή δύο κβαντικών συστηµάτων µε σπιν J 1 = 1 και J = 1/ είναι Ĥ = A h J1 J + B h (J 1z +J z ) όπου A, B είναι δεδοµένες σταθερές µε διαστάσεις ενέργειας. Την χρονική στιγµή t = 0 το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση J 1, J ; m 1, m µε m 1 = 1 και m = 1/, δηλαδή το πρώτο σωµατίδιο να έχει συνιστώσα + h στον άξονα z και το δεύτερο h/. Ποιά είναι η πιθανότητα την χρονική στιγµή t > 0 το σύστηµα να ϐρεθεί στην κατάσταση µε τιµές m 1 = 0 και m = +1/ για τις z-συνιστώσες του σπιν του πρώτου και το δεύτερου σωµατιδίου αντίστοιχα; Ποιά η µεγίστη τιµή της πιθανότητας αυτής και για ποιόν χρόνο αυτή επιτυγχάνεται ; Υπόδειξη: ίνεται ότι η κατάσταση συνολικού σπιν J M, για J = 3/ και M = 1/, δίνεται συναρτήσει των J 1, J ; m 1, m από την σχέση 3 1 = c 1, 1 ; 1, 1 + s 1, 1 ; 0, +1 όπου οι συντελεστές c, s είναι c = 1/3, s = /3, ενώ η κατάσταση συνολικού σπιν µε J = 1/, M = 1/ είναι ορθογώνια σε αυτήν. Καλή Επιτυχία!

18 ΘΕΜΑ 1: ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Εξετάσεις - 10ης Σεπτεµβρίου 010 Η κυµατική συνάρτηση σωµατιδίου την χρονική στιγµή t = 0 είναι της µορφής ψ(x,y,z) = R(r) (x+y ) όπου r = x +y +z. Ποιές οι πιθανότητεςp(l,m) να µετρήσω τροχιακή στροφορµή µε µέτρο h l(l +1) και συνιστώσα αυτής στον άξονα z ίση µε hm, για όλες τις δυνατές τιµές των l,m, την χρονική αυτή στιγµή; Υπόδειξη: ίνονται οι σφαιρικές αρµονικές Y 1,0 = ΘΕΜΑ : π cosθ, Y 1,+1 = 8π sinθ e+iφ, Y 1, 1 = + 8π Η Χαµιλτωνιανή δύο διακρισίµων σωµατιδίων µε σπιν s 1 = s = 1/ είναι Ĥ = A h s 1 s + B h (s 1z +s z ) sinθ e iφ όπου A, B είναι δεδοµένες σταθερές µε διαστάσεις ενέργειας. Την χρονική στιγµή t = 0 το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση +, όπου το πρώτο σωµατίδιο έχει z συνιστώσα + h/ και το δεύτερο h/. Ποιά είναι η πιθανότητα την χρονική στιγµή t > 0 τα δύο σωµατίδια να ϐρεθούν στην κατάσταση, + όπου το πρώτο σωµατίδιο έχει z συνιστώσα h/ και το δεύτερο + h/ ; Υπόδειξη: Οι καταστάσεις συνολικού σπιν S = 1,M = 0 και S = 0,M = 0 είναι ΘΕΜΑ 3: 1,0 = 1 ( +, +,+ ), 0,0 = 1 ( +,,+ ) Ενα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο δεσµεύονται από το δυναµικό V(r) = { V0 r < R 0 0 r > R 0 όπου r η σχετική τους απόσταση, για να σχηµατίσουν πυρήνα δευτερίου σε κατάσταση µε τροχιακή στροφορµή l = 0. Το ϐάθος του δυναµικού V 0 > 0 και η ακτίνα R 0 είναι δεδοµένα. Αν η κατάσταση του δευτερίου είναι οριακά δέσµια να ϐρεθεί η σχέση µεταξύ του ϐάθους V 0 και της ακτίνας R 0. Καλή Επιτυχία!